中間値の定理

微分積分学

概要

中間値の定理といえば高校数学の数学IIIに出てきて、証明はされずに自明という扱いをされてそのまま使われている定理である。しかし大学の一年前期くらいにやる微分積分学の授業で{\epsilon-\delta}論法によって極限がきちんと定義された状態になると、証明できる定理となる。

主張

連続な関数{f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}}について、{f(a)\lt f(b)}であるとき、{f(a)\lt k\lt f(b)}を満たす全ての実数kについて、ある{c \in [a,b] }が存在して、{f(c)=k}を満たす。

証明

次の主張は前提としておく。

  • 有界で単調増加な数列は収束する。
  • {f}が連続関数で、{a_n\to\alpha}ならば{f(a_n)\to f(\alpha)}
  • はさみうちの原理

まずは、数列{\{a_n\}_{n=0}^{\infty},\{b_n\}_{n=0}^{\infty}}を次のように定義する。こうして定義した数列が{f(c)=k}をみたす{c}に収束することを示すことが証明の主な流れとなる。

  1.  {a_0=a,b_0=b}
  2. {c_n=\frac{a_n+b_n}{2}}とする。{f(c_n)\leq k}ならば{a_{n+1}=c_n,b_{n+1}=b_n}とする。
  3. 一方、{f(c_n)\gt k}ならば{a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c_n}とする。

 このとき、すべての自然数{n}について、{f(a_n)\leq k\leq f(b_n)}を満たしている。このことは帰納法を使うと示すことができる。

また、{\{a_n\}}は単調増加な数列となり、{\{b_n\}}は単調減少な数列となる。このことは、{a_n\lt c_n\lt b_n}であり、{a_n}の次の項は増加するかそのままであるため明らかである。{\{b_n\}}についても同様な議論ができる。

よって前提「有界で単調増加な数列は収束する」より、{\{a_n\},\{b_n\}}はともにある値に収束する。収束値をそれぞれ{\alpha,\beta}とする。

ここで、{\alpha=\beta}を示したい。これは簡単で、

$$\beta=\lim_{n\to\infty}(b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+(b_n-a_n)$$

$$=\alpha+\lim_{n\to\infty}(b-a)2^{-n}=\alpha$$

というように基本的な極限操作で示すことができる。数列の定義より{b_n-a_n}が等比数列になっていることが注意点である。ここで、{\alpha=\beta=c}とおくと、実は{f(c)=k}となっている。これを証明する。

さきほど言及した、「すべての自然数{n}について、{f(a_n)\leq k\leq f(b_n)}を満たしている。」という性質を使う。この不等式に対してはさみうちの原理を適用させる。

{f}は連続関数であるため、{f(a_n)\to f(c),f(b_n)\to f(c)}であることを注意すると、

$$f(a_n)\leq k\leq f(b_n)$$

を{n\to\infty}とすると、

f(c)=kとなる。この{c}は数列{a_n,b_n}の定義により{a\leq c\leq b}を満たしていることは明らかである。（証明終わり）

あとがき

この証明は区間縮小法をヒントにして構成したものである。そして内容も極力高校数学だけでわかるようにしたつもりであるが、「有界で単調増加な数列は収束する」などといった定理を使わざるを得なかったため、残念ながらこの証明は高校範囲を超越してしまった。