ベータ関数
概要
ベータ関数とは次のような積分の形式として表すことができる。ただし関数の引数は自然数とする。
$$B(n,m)=\int_{0}^{1} x^{n -1} (1-x)^{m -1} dx$$
実はこの関数は階乗の形を使って次のような形で表すことができる。
$$B(n,m)=\frac{(n-1)!(m- 1)!}{(n+m- 1)!}$$
証明
証明には部分積分を使用する。
$$\int_{0}^{1} x^{n-1} (1-x)^{m -1} dx=\left[\frac{1}{n}x^n(1-x)^{m -1}\right]_{0}^{1}-\frac{m -1}{n}\int_{0}^{1}-x^n (1-x)^{m-2}dx$$
$$=\frac{m -1}{n}\int_{0}^{1}x^n(1-x)^{m-2}dx=\frac{m- 1}{n}B(n+1,m- 1)$$
よって、
$$B(n,m)=\frac{m- 1}{n}B(n+1,m- 1)$$
となる。また、
$$B(n,1)=\int_{0}^{1}x^{n-1} dx=\frac{1}{n}$$
であるため、
$$B(n,m)=\frac{m- 1}{n}B(n+1,m- 1)$$
$$=\frac{m- 1}{n}\frac{m-2}{n+1}B(n+2,m-2)$$
$$=\cdots=\frac{m- 1}{n}\frac{m-2}{n+1}\cdots \frac{1}{n+m-2}B(n+m- 1,1)$$
$$=\frac{m- 1}{n}\frac{m-2}{n+1}\cdots \frac{1}{n+m-2}\frac{1}{n+m -1}$$
$$=\frac{(m- 1)!(n-1)!}{(n+m -1)!}$$
よって示された。
一般の場合
次のような関数を考える。
$$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$
つまり、冒頭の関数の引数を実数に拡張したものである。
実はこれも先程のベータ関数の式が成り立つと言える。
階乗を実数に拡張したものとは何だという話になるが、それについてはガンマ関数というものを定める。ガンマ関数の具体的な形は以下の式で表すことができる。
$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$$
このとき、とおくと
となる。これの証明は部分積分や帰納法などを駆使するとできる。
つまり、このような拡張して定義した階乗を用いることで、以下のような等式が成り立つ。
$$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$
これを証明する。
証明
分母を取り払った式
$$B(x,y)\Gamma(x+y)=\Gamma(x)\Gamma(y)$$
を示す。
を積分の形式で表示すると、
$$\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_{0}^{\infty}e^{-s}s^{x-1}ds\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{y-1}dt$$
$$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-s-t}s^{x-1}t^{y-1}dsdt$$
この重積分について、以下のような変数変換を考える。
$$(s,t)=(uv,u(1-v))$$
の範囲より、
の取りうる範囲は
である。
また、この変換に対するヤコビアンは、
$$\left| \det \left( \begin{array}{cc}\frac{\partial s}{\partial u}&\frac{\partial t}{\partial u}\\\frac{\partial s}{\partial v}&\frac{\partial t}{\partial v}\end{array}\right)\right|=\left|\det\left(\begin{array}{cc}v&1-v\\u&-u\end{array}\right)\right|=u$$
であるため、
$$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-s-t}s^{x-1}t^{y-1}dsdt$$
$$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1}e^{-u}u^{x-1}u^{y-1}v^{x-1}(1-v)^{y-1}udvdu$$
$$=\int_{0}^{1}v^{x-1}(1-v)^{y-1}dv\int_{0}^{\infty}e^{-u}u^{x-1}u^{y-1}u du$$
$$=B(x,y)\int_{0}^{\infty}e^{-t}u^{x+y-1}du=B(x,y)\Gamma(x+y)$$
よって示された。
