パーセバルの定理
概要
パーセバルの定理とは、もとの関数のフーリエ級数と、積分の間に成り立つ等式のことである。
2018年8月7日追記：以下の記事も参照
主張
を
上で定義された連続関数とする。このとき、
のフーリエ級数展開が次のような式で表すことができると仮定する。
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos{(nx)}+b_n\sin{(nx)}\right]$$
このとき、以下の公式が成り立つ。
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\frac{|{a_0}|^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(|{a_n}|^2+|{b_n}|^2)$$
証明
もとの積分を無理やりフーリエ級数の形に変形する。すると以下のような形になる。
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos{(nx)}+b_n\sin{(nx)}\right]\right|^2dx$$
三角関数の直交性より、の項と定数項以外はすべて積分すると0になるため取り除くことができる。よって生き残ったものだけをかき集めると以下の式のようになる。*1
$$=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\frac{{|a_0|}^2}{4}dx+\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}{|a_n|}^2\cos^2{(nx)}+{|b_n|}^2\sin^2{(nx)}dx\right]$$
は
上で積分すると
になるため、この式は
$$=\frac{1}{\pi}\left[2\pi \frac{{|a_0|}^2}{4}+\pi\sum_{n=1}^{\infty}\left({|a_n|}^2+{|b_n|}^2\right)\right]$$
$$=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left({|a_n|}^2+{|b_n|}^2\right)$$
となる。
応用
具体的な関数についてどうなるかを考えてみよう。ここではとおいた場合を考えてみる。まずはフーリエ級数を求める必要があるが、
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{(nx)}dx=0$$
と、
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin{(nx)}dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$
は、計算によって求めることができる。
よって、
$$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin{(nx)}$$
となるため、パーセバルの定理により
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\sum_{n-1}^{\infty}\frac{4}{n^2}$$
である。また普通に積分することで、
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$$
というように具体的な値を求めることもできる。よってこれらの2つの式を合わせることにより、
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
という結果を求めることができる。（参照：バーゼル問題）
