線形写像に対応する内積

線形代数学

前提

ベクトル空間と内積に関する問題であるため、以下の記事を場合に応じて参照してみると良いかもしれない。

 

shakayami-math.hatenablog.com

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問題

{\mathbb{R}^n}に対して内積{\langle,\rangle:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}}を定める。このとき、任意の{f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}}という線形写像に対して、ある{w\in \mathbb{R}^n}が存在して、{f(v)=\langle v,w\rangle}という関数等式が成り立つことを示せ。

解答

{w}を実際に構成する。

まずは{\{w_1,\ldots,w_n\}}という{\mathbb{R}^n}の基底に対して、グラムシュミットの正規直交化法を適用させることで、{\mathbb{R}^n}と{\langle,\rangle}に対する正規直交基底{v_1,\ldots,v_n}を作る。このとき、{\langle v_i,v_j\rangle=\delta_{ij}}であることに注意する。*1

このとき、{f(v_i)=x_i(i=1,\ldots,n)}としたとき、{w}を以下のように定める。

$$w=x_1v_1+\ldots+x_nv_n$$

これが条件を見対していることを証明する。

適当に{V}の元{v\in V}を取ってきたとき、これは{\{v_i\}}の一次結合で表現することができる。よってこのとき、

$$v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$$

という形で表現することができる。このとき、

$$f(v)=a_1f(v_1)+\cdots+a_nf(v_n)$$

$$f(v)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$$

となる。また、

$$\langle v,w\rangle=\langle \sum_{i=1}^{n}a_iv_i,\sum_{j=1}^{n}x_jv_j\rangle$$

より、

$$\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ix_j\langle v_i,v_j\rangle$$

$$\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_ix_j\delta_{ij}$$

クロネッカーのデルタが係数に入っているため、{i=j}の部分だけが残る。よって、

$$\langle v,w\rangle=\sum_{i=1}^{n}a_ix_i$$

という形になり、このとき、

$$f(v)=\langle v,w\rangle$$

という等式が成立する。

 

 

*1:{\delta_{ij}}とはクロネッカーのデルタというものであり、{i=j}ならば1,{i\neq j}ならば0の値を取る。