同値関係と同値類 - 数学についていろいろ解説するブログ

概要

同値関係・同値類についての解説と例を紹介します。

概要
定義
注意点
性質
具体例

定義

集合 ${X}$ に対して二項関係 ${\sim}$ を定める。（二項関係とは ${\sim : X\times X\to \{0,1\}}$ といったものである。例えば ${=,\leq,\geq,\lt,\gt,\neq}$ のように、2つの対象がある関係を満たしているかといったものを考える。ここで先程の写像の形式で書くと「$x$と$y$が関係$\sim$を満たしている」を ${x\sim y \Leftrightarrow\sim(x,y)=1}$ *1というように表記する。）

ここで、二項関係 ${\sim}$ が以下の関係を満たしている時、 ${\sim}$ を同値関係という。

${\forall x\in X}$ について ${x\sim x}$ が成り立つ（反射律）
${x\sim y}$ ならば必ず ${y\sim x}$ が成り立つ（対称律）
${x\sim y}$ かつ ${y\sim z}$ ならば必ず ${x\sim z}$ が成り立つ（推移律）

ここで、 ${x}$ の同値類を以下のように定める。記号では ${[x]}$ と書くことがよくある

$$[x]:=\{y|x\sim y\} $$

そして ${\sim}$ による剰余集合 ${X/\sim}$ を、以下のように定める。

$$X/\sim :=\{[x]|x\in X\}$$

結局これは集合の集合みたいな形になっている。

注意点

反射律は必要不可欠なものである。

「 ${x\sim y}$ となるようなものに対して、対称律より ${y\sim x}$ となるため推移律より ${x\sim x}$ となるため反射律が導かれる」みたいな論法があるが、これは ${x\sim y}$ となるような ${y\in X}$ が存在することを暗黙の前提としているのである。よって逆に「 ${x\sim y}$ となるような ${y\in X}$ が存在しない例」をうまく考えれば反例を構成することができる。

たとえば ${\{(x,y)\in X^2|x\sim y\}=\emptyset}$ となるような二項関係 ${\sim}$ は対称律と推移律を満たしている（A⇒BのAが偽であるためBの真偽に関わらず命題が真となる）が、反射律は満たしていないため、これは同値関係にはならない。

性質

同値な性質

$x,y\in X$とその中の同値類$\sim$に対して、

$x\sim y$
$[x]=[y]$
$[x]\cap [y]\neq \emptyset$

が同値になるらしい。

以下証明

1⇒2

${z\in [x]}$ を任意に取ってくると, ${z\sim x}$ で仮定より ${x\sim y}$ となるため推移律より ${y\sim z}$ となる。よって ${z\in [y]}$ となるため、 ${[x]\subset [y]}$ となる。 ${x,y}$ を逆転させて同様の議論をすると, ${[y]\subset[x]}$ が言えるため結局 ${[x]=[y]}$ となる。

2⇒3

反射律より ${x\in [x]}$ である。よって ${[x]=[y]}$ より ${x\in[y]}$ であるため、 ${x\in[x]\cap[y]}$ となるため特に ${[x]\cap[y]\neq\emptyset}$ となる。

3⇒1

${z\in [x]\cap[y]}$ を任意に取ってくると、このとき ${z\in[x]}$ より ${x\sim z}$ 、 ${z\in[y]}$ より ${y\sim z}$ となる。よって対称律と推移律により ${x\sim y}$ となることがいえる。

証明終

結局同値関係は ${=}$ （イコール）と似たような性質を持っていて、それを剰余集合の世界に移動すると、同値関係が ${=}$ （イコール）と同じような性質を持つことになる。現に ${x\sim y}$ ならば ${[x]=[y]}$ となるため ${X/\sim}$ の世界で ${=}$ （イコール）の関係となる。

商写像

集合 ${X}$ とその同値類 ${\sim}$ に対して、写像 ${p:X\to X/\sim}$ を

$$p(x)=[x]$$

と定めるとこれは全射となる。「商写像」や「自然な全射」といった表現を見かけたときは、これを指していることが多い。

位相構造

${X}$ を位相空間、 ${\sim}$ を同値関係としたとき、商集合 ${X/\sim}$ を以下のように定める。

${U\in X/\sim}$ が開集合⇔ ${p^{-1}(U)}$ が ${X}$ の位相で開集合( ${p}$ は商写像)

⇔ ${\displaystyle{\cup_{[x]\in U}[x]}}$ が（Xの位相で）開集合

これを商位相と言ったりもする。

このときこの位相において商写像 ${p:X\to X/\sim}$ は連続写像となる。

具体例

三角形と相似

ここで ${X}$ を「平面上の三角形全体の集合」として、 ${\sim}$ を「相似の関係( ${x\sim y}$ ならば三角形 ${x}$ と三角形 ${y}$ が相似となる)」とする。このとき ${\sim}$ は同値関係になっている。その場合、同値類 ${[x]}$ というものは「 ${x}$ と相似な三角形全体の集合」となるが、剰余集合 ${X/\sim}$ というものは実は「大きさを無視した三角形全体の集合」と同一視できる。そうすると結局の所、 ${X/\sim}$ の元は3頂点の角度の情報だけで表すことができるというようなことが分かってくる。

写像

${X,Y}$ を集合として ${f:X\to Y}$ を写像とする。このとき、 ${X}$ に対して同値関係 ${\sim}$ を以下のように定める。

$$x\sim y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$$

このとき ${\tilde{f}:X/\sim \to Y}$ を、 ${\tilde{f}([x])=f(x)}$ と定めると ${\tilde{f}}$ という写像は単射となる。

ここでwell-defined性に注意（ ${[x]=[y]}$ ならば ${\tilde{f}([x])=\tilde{f}([y])}$ となるかを確認せよ）

単射については ${f(x)=f(y)}$ ならば ${[x]=[y]}$ となるためOK

ちなみに写像 ${f:X\to Y}$ を適当に持ってきたら、 ${\tilde{f}:X/\sim \to f(X)}$ というように変化させれば自然に全単射になるように改造することができる。 ${X\to X/\sim}$ という変換によって単射になって、 ${Y\to f(X)}$ という変換によって全射になる。

群（剰余群）

${G}$ を群として、 ${N}$ を ${G}$ の部分群とする。このとき、 ${a,b\in G}$ に対して

$$a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in N$$とすると、 ${\sim}$ は同値関係となる。

反射律は ${e\in N}$ より明らか、対称律は ${ba^{-1}=(ab^{-1})^{-1}}$ より言える。反射律については ${ab^{-1}*bc^{-1}=ac^{-1}}$ より言える。

ここで、 ${N}$ が正規部分群であるならば ${G/\sim}$ （以下単純に ${G/N}$ とかく）は群構造をなす。これを剰余群という。

ここで、 ${G/N}$ の元は ${[a]=\{b\in G|ab^{-1}\in N\}}$ となり、 ${N}$ が正規部分群であることから ${[a]=\{ab|b\in N\}:=aN}$ と書ける。ここで剰余群の積は ${(aN)*(bN):=abN}$ と定義される。

以下関連記事

shakayami-math.hatenablog.com

環とイデアル（剰余環）

${A}$ を環とする。*2（念の為零環ではない可換環だけを考える。つまり積についての交換法則を仮定する。）このとき、 ${A}$ の部分集合 ${I}$ が以下を満たしている時 ${I}$ をイデアルという。(ここで、0を加法単位元として1を乗法単位元とする)

${0\in I}$
任意の ${a\in I, x\in A}$ について ${ax\in I}$ となる
任意の ${a,b\in I}$ について ${a+b\in I}$ となる
任意の ${a\in I}$ について ${-a\in I}$ となる

ここで、 ${x,y\in A}$ について同値関係を以下で定める。

$$x\sim y \Leftrightarrow (x-y)\in I$$

対称律は明らか、反射律については ${(x-y)=-(y-x)}$ よりOK、推移律については ${(x-y)+(y-z)=(x-z)}$ よりOK。

環を和という演算だけ見た時群になるが、このときイデアルは ${A}$ の部分群となる。よって剰余集合 ${A/\sim}$ を定めることができる。これも群のときと同じように大抵は ${A/I}$ という表記をする。また、 ${I}$ は ${A}$ の正規部分群でもあるため、（加法について可換なので ${b+a+(-b)=b+(-b)+a=a}$ より部分群はすべて正規部分群となる。） ${A/I}$ は加法について群の構造をなしている。ここで、 ${A/I}$ の元は ${\{y|y-x\in I\}=\{x+y|y \in I\}=x+I}$ というような表記ができるが、和については ${(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,[x]+[y]=[x+y]}$ となることが言える。

ここで ${A/I}$ での積を以下のように定める。

「 ${a\in x+I,b\in y+I}$ を任意に取ってきたときの ${ab+I=[ab]}$ 」

これはwell-definedであることに注意。 ${a,c\in x+I,b,d\in y+I}$ について ${cd-ab=c(d-b)+(c-a)b\in I}$ となるため ${[ab]=[cd]}$ となるため、積の結果は剰余集合の元として一意に定まる。これは明らかに分配法則・結合法則を満たしているため、 ${A/I}$ は環となる。このとき、 ${A/I}$ を剰余環という。

ベクトル空間（商線形空間）

shakayami-math.hatenablog.com

${V}$ をベクトル空間、 ${W}$ をその部分空間としたとき、集合 ${V}$ に対して同値関係 ${\sim}$ を以下で定める。

$$x\sim y\Leftrightarrow (x-y)\in W$$

これは群のときとほとんど同じである。

このとき、同値類 ${V/\sim}$ は ${V/W}$ と表記されて、これを商線形空間と呼ぶ。

${V/W}$ の元は ${x+W}$ または ${[x]}$ と表記されるが、 ${[x]+[y]=[x+y],a[x]=[ax]}$ と定めることでこれは無事線形空間となることが確認できる。

商体

${A}$ を整域*3とする。このとき、 ${\{(x,y)\in A\times A|y\neq 0\}}$ に対して同値類 ${\sim}$ を

$$(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc$$

と定めると、 ${A\times A/\sim}$ は体となる。これを商体という。 ${A\times A/\sim=\mathrm{Frac}(A)}$ という表記がされているらしい。

和を ${(a,b)+(c,d):=(ad+bc,bd)}$ 、積を ${(a,b)\times (c,d):=(ac,bd)}$ と定める

体のいくつかの性質について確認してみる。

${(a,x)+(b,y)+(c,z)=(ayz+xbz+xyc,xyz)}$ となるため結合法則が成立

${(a,x)*\{(b,y)+(c,z)\}=(a(bz+cy),xyz)=(abz,xyz)+(ayc,xyz)=(ab,xy)+(ac,xz)}$ より分配法則が成立

${[(0,1)]}$ を加法の単位元、 ${[(1,1)]}$ を乗法の単位元とする。

このとき、 ${[(a,b)]}$ に対して,これが加法の単位元と異なれば ${b\neq 0}$ が言えるため ${[(b,a)]}$ は ${[(a,b)]}$ の乗法逆元となる。

また、 ${\pi:A\to \mathrm{Frac}(A)}$ を ${\pi(x)=[(x,1)]}$ と定めるとこれは単射となる。

具体例としては、 ${\mathrm{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}}$ が成り立つ。

ホモトピック

${X}$ を弧状連結な位相空間とし、 ${I=[0,1]\subset \mathbb{R}}$ とする。このとき、連続写像 ${f:I\to X,g:I\to X}$ がホモトピックであることを ${f\simeq g}$ と表記して以下で定義する。

$f\simeq g$⇔「 ${F:I\times I\to X}$ という ${I\times I\subset \mathbb{R}^2,X}$ の意味で連続な写像が存在して、 ${\forall t\in I,F(t,0)=f(t),F(t,1)=g(t)}$ を満たす」

これは同値関係となっている。

対称律については明らか（ ${F(t,s)=f(t)}$ とすればよい）

反射律については ${F'(t,s)=F(t,1-s)}$ とすればいいのでOK

推移率については ${f,g}$ が ${F}$ について, ${g,h}$ が ${G}$ という写像についてホモトピックであるようにできると、

$$H(t,s)=F(t,2s):(0\leq s\leq 1/2);G(t,2s-1):(1/2\lt s\leq 1)$$

とすれば ${H}$ は ${f}$ と ${h}$ をホモトピックとするための写像となる。

このホモトピックに対する同値類というものは基本群を定義する上で登場する。

具体的には固定された ${x_0\in X}$ に対して ${f(0)=f(1)=x_0}$ となるような連続関数 ${f:I\to X}$ 全体の集合について、ホモトピックという同値関係で割った同値類を考える。このときの商集合の元は ${[\alpha]}$ というような表記をして、これをホモトピー類という。これに対して和や逆元などの演算を適切に定めると、演算が群構造をなすようにできて、この同値類全体の集合からなる群を ${X,x_0}$ の基本群といい、 ${\pi_1(x_0,X)}$ と書く。