コーシー積（級数の畳み込み）
問題
$\{a_n\}_{n=0}^{\infty},\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$は複素数の列として、$$\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|\lt \infty,\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|\lt \infty$$
を満たすとする。このとき、
$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$$
を求めよ。
考察
任意の$(i,j)\in\mathbb{N}_{\geq 0}^2$に対して、$a_ib_j$がちょうど1回だけ足されるため、お気持ちとしては
$$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right)$$
としたくなる。（注：一般に、絶対収束する級数は収束するので上記のような無限和は必ず存在する。）しかしこのような議論ではさすがにガバガバすぎる。例えば、無限級数の足す順番を勝手に変えていいのかどうかといった懸念が発生するのである。
ここは、ε-N論法とやらを使って綺麗に示したいところだ。
解答
$$\left|\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n - \sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right|$$
ここで、この絶対値の中身において、$0\leq i,j\leq N$のときの$a_ib_j$は打ち消されているため考慮する必要はない。残りは$i+j\leq 2N$かつ$i\gt N$または$j \gt N$を満たす場合である。よってこれは
$$\left|\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n - \sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right|$$
$$\leq \left|\sum_{i\geq N+1,i+j\leq 2N}a_ib_j\right|+\left|\sum_{j\geq N+1,i+j\leq 2N}a_ib_j\right|$$
$$\leq \sum_{i\geq N+1,i+j\leq 2N}|a_ib_j|+\sum_{j\geq N+1,i+j\leq 2N}|a_ib_j|$$
$$\leq \sum_{0\leq j\leq N\lt i\leq 2N}|a_ib_j|+\sum_{0\leq i\leq N\lt j\leq 2N}|a_ib_j|$$
$$\leq \sum_{j=0}^{N}|b_j|\sum_{i=N+1}^{2N}|a_i|+\sum_{i=0}^{N}|a_i|\sum_{j=N+1}^{2N}|b_j|$$
$$\leq \sum_{j=0}^{\infty}|b_j|\sum_{i=N+1}^{2N}|a_i|+\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|\sum_{j=N+1}^{2N}|b_j|$$
ここで、任意の$\varepsilon\gt 0$に対して、ある自然数$N_1$が存在して、$N\geq N_1$ならば$$\sum_{i=N+1}^{2N}|a_i|\lt \varepsilon$$
とすることができる。これは$\sum_{k=0}^{n}a_k$という数列が収束、つまりコーシー列であることから従う。
同様に、ある自然数$N_2$が存在して、$N\geq N_2$ならば$$\sum_{j=N+1}^{2N}|b_j|\lt \varepsilon$$
とすることができる。
よって、$N_0\geq \max\{N_1,N_2\}$となるように自然数$N_0$を定めると、
$N\geq N_0$のときに
$$ \sum_{j=0}^{\infty}|b_j|\sum_{i=N+1}^{2N}|a_i|+\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|\sum_{j=N+1}^{2N}|b_j|\lt \left(\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|+\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|\right)\varepsilon$$
となる。
ここで、括弧の中身は定数なので、誤差が高々定数倍のεで抑えられることが分かった。
つまりどうなるかというと、
①定数$C$が存在する。（注：$C=\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|+\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|$）
②$\varepsilon \gt 0$を任意に定める
③$N_0$という自然数が存在して、以下の条件を満たす
④$N\geq N_0$を任意に取ると、$$\left|\sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}-\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n\right|\lt C\varepsilon$$
と取れる。
⑤ ②～④の議論により、$$\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}-\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n=0$$となる。
⑥ここで、$$\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n$$は収束して、
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}b_n$$となる。（注：極限は積について保存することから従う）
⑦このとき、
$$\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}=\lim_{N\to\infty} \left(\sum_{n=0}^{2N}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}-\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n\right)+\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_n\cdot \sum_{n=0}^{N}b_n$$
$$=0+\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cdot \sum_{n=0}^{\infty}b_n$$
となるため、
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cdot \sum_{n=0}^{\infty}b_n$$
となることが言える。
…というような論理展開をしている。これらは慣れると省略しがちになるが、この記事ではあえて丁寧に説明することにした。
使用例
$x,y$を複素数とする。ここで
$$a_n=\frac{x^n}{n!},b_n=\frac{y^n}{n!}$$
とする。
このとき、
$$\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!}$$
$$=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k}$$
$$=\frac{1}{n!}(x+y)^n$$
となる。最後の等式には二項定理を用いた。
このとき、
$$\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|x|^n}{n!}$$
は収束するので（練習問題：方針としては、各項を指数オーダーで上から抑えるのが良さそう？）
前述の定理を使うことができる。
よって、
$$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+y)^n}{n!}$$
となる。
ここで、
$$\exp{(x)}:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
という感じにexp関数を定義すると、
$$\exp{(x+y)}=\exp{(x)}\exp{(y)}$$
という法則が成り立つことが分かる。
