定義 集合$U\subset \mathbb{R}^n$が開集合であるとは、以下の性質が成り立つことである。 任意の$x\in U$に対して、ある$\varepsilon \gt 0$が存在して、$B(x,\varepsilon)\subset U$である。 ここで、$B(x,\varepsilon)=\{y\in\mathbb{R}^n;|y-x|\lt \vare…

主張 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$を実数の数列とする。このとき、 $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1$$ ならば、 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\lt \infty$$ となる。 逆に、 $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1$$…

問題 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty},\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$は複素数の列として、$$\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|\lt \infty,\sum_{n=0}^{\infty}|b_n|\lt \infty$$ を満たすとする。このとき、 $$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$$ を求めよ。 考察 任…

注意 この記事では、分かりやすさのために一部厳密性を犠牲にしている部分があります。 厳密でない部分が来た場合には脚注等でなぜ厳密でないかを書きます。 定理 という級関数がある。 これがで極値を持つ条件は まずであること としたとき、 ならば極値で…

注意 ロピタルの定理を用いません 問題 超数理能力問題 ロピタルの定理を用いて、この極限値を求めて下さい $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-4x^2+\sqrt[\frac{\pi}{x}]{16\pi^4}+3e\cos{2x}\sin{2x}-3!\pi x-5\pi\sin{x}}{-2e^{\pi}\cos{(2x+\pi)}+2x^2-3…

導入 ・実数とは無理数と有理数を合わせたものである ・無理数とは、実数のうち有理数ではないものである*1 と堂々巡りになってしまうようでは良くないので、実数とは何かについて説明していこう。 余談 ところで、高校数学では堂々巡りの定義をしているとい…

概要 ε-δ論法,ε-N論法は極限の概念を厳密に定義したものである。 解析学をやる上での基本中の基本である 定義 極限については数列の極限と関数の極限の2種類がある ・数列の極限に対してはε-N論法 ・関数の極限に対してはε-δ論法 で極限が定義される。 数列…

概要 を有界閉区間としたとき、上で定義された連続関数は最大値と最小値をもつ。つまりあるがあって、全てのについて、となる。 証明 最大値の方だけ証明すれば十分である。なぜならについて同じように最大値の存在を証明すればそれはの最小値になるからであ…

概要 受験数学の問題を解いているときにこの記事のタイトルをそっくりそのまま書いた人は少なくはないだろう。積分や不等式が絡む問題でよくこの言葉の使い回しが出てくる。そこで、この記事では「等号は常には成り立たない」という言葉の裏にどのような論理…

ベータ積分は積分を使うことで計算できる関数であり階乗を使った形で表すこともできる。そこまでは高校数学の範囲内でも示すことができるが、もしベータ積分の定義域を無理やり実数の場合に拡張したらどうなるかをガンマ関数の話と合わせて書いた。

概要 関数が区間上のすべての点で連続であるとは、以下の条件を満たしていることと言える。 $$\forall \epsilon\gt 0,x\in I, \exists \delta(\epsilon,x),\mathrm{s.t.}|x-y|\lt \delta(x,\epsilon)\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt \epsilon $$ 一方、一様連続…

概要 有界な数列は収束する部分列を持つ、ということを主張している定理である。この定理を証明するにあたって、 shakayami-math.hatenablog.com で紹介した定理を使っているのでその記事を参照するといいだろう。 また、部分列とはであって、を満たす自然数…

概要 これは実数の連続性の公理から導くことができる定理である。コーシー列と収束性が同値であることを示す過程でもよく使われるが、論法を使わないと証明できないため、高校までの数学に出現することはなく、大学数学で初めて出てくる定理とするべきだろう…

概要 論法とは、数列の極限を定式化したものである。よって極限に関する諸定理を証明することができるようになる。 定義と軽い説明 であることを次のように定義する。 $$\forall \epsilon >0, \exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ n\geq N \Rightarrow |a…

導入 大学はじめの微分積分学では、最初に実数をきちんと定義する作業がある。実数を定義付けするときに大きく分けて3つの要素をまず最初に約束する。その約束とは 実数は可換体（≒四則演算ができる集合）である。 実数は全順序集合＋α*1（≒不等号がちゃんと…

概要 中間値の定理といえば高校数学の数学IIIに出てきて、証明はされずに自明という扱いをされてそのまま使われている定理である。しかし大学の一年前期くらいにやる微分積分学の授業で論法によって極限がきちんと定義された状態になると、証明できる定理と…