ε-N論法
概要
論法とは、数列の極限を定式化したものである。よって極限に関する諸定理を証明することができるようになる。
定義と軽い説明
であることを次のように定義する。
$$\forall \epsilon >0, \exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ n\geq N \Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon$$
この式について見方を変えてみる。上記の論理式を満たすように、「に対してを対応付けることができる」と考えよう。すると、条件を満たすようなものをというように関数のような形で書くことができるので
$$n\geq N(\epsilon)\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt \epsilon$$
というように捉えることができる。
具体的な使用法
たとえばを示してみよう。とおくと、である。よってどのようなに対してでも、となるような自然数が存在するので、(アルキメデスの原理)をより大きい最小の自然数とでもすれば、を仮定したとき、となるため、収束することがわかる。
極限の和と積
この節では、とする。
論法を使うと、極限の和と積に関する定理を示すことができる。
例えば和の場合、
とすれば、としてしまえば、としたときに、
$$|a_n+b_n-\alpha-\beta|\leq |a_n-\alpha|+|b_n-\beta|$$
$$\lt \epsilon/2+\epsilon/2\lt \epsilon$$
となるため、収束することが示された。
ところで、収束することを示すには、の定数倍で評価できれば十分である。:定数として、ならば、となるからである。条件を満たすようなが一つでも存在すれば収束するということに注意しよう。
さて、積についても基本的には同様だが、少し工夫が必要である。であることに加えて、となるような実数が存在すること(=が有界であること)も利用する。
収束する数列が有界であることは簡単に示せて、ならば、であるため、としてしまえば任意の自然数に対して、が成立すると分かる。
さて、積の極限についてだが、としてしまえば、としたときに、
$$|a_nb_n-\alpha\beta|=|b_n(a_n-\alpha)+\alpha(b_n-\beta)|$$
$$\leq |b_n|\cdot|a_n-\alpha|+|\alpha|\cdot|b_n-\beta|$$
$$\lt M\epsilon+\alpha\epsilon=(M+\alpha)\epsilon$$
となるため、これもまた収束することを示すことができた。
さらに、とすれば、としたとき、ならば
$$|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}|=\frac{|b_n-\beta|}{|b_n||\beta|}$$
$$\lt \frac{2\epsilon}{|\beta|^2}$$となる。
よって逆数の極限も極限の逆数であることが分かった。これと積の極限の定理を組み合わせると、商の極限定理を示すことができるようになる。
はさみうちの原理
を数列として、が任意の自然数で成立すると仮定しよう。このとき、のとき、が成立すると仮定する。このときに不等式で挟み撃ちされた状態にあるも、と同じようにに収束するというものがはさみうちの原理である。これは受験数学ではよく出てくるやつでお馴染みなのかもしれないが、証明は論法を使わないとできないのである。
がともに収束するため、を取ることができて、についてが成立する。これにに関する挟み撃ちの前提も適用させると、
$$k-\epsilon\lt a_n\lt b_n\lt c_n\lt k+\epsilon$$
となり、そこから
$$k-\epsilon\lt b_n\lt k+\epsilon \Rightarrow |b_n-k|\lt \epsilon$$
が成り立つ。よってそこからがに収束することもわかる。