有界で単調増加な数列は収束する
概要
これは実数の連続性の公理から導くことができる定理である。コーシー列と収束性が同値であることを示す過程でもよく使われるが、論法を使わないと証明できないため、高校までの数学に出現することはなく、大学数学で初めて出てくる定理とするべきだろう。前提については以下の記事を参照しよう。
証明
が有界であるとする。このとき、実数の連続性から集合に対して上限が存在する。よってその上限をと定める。
よって、上限の定義より以下の性質が成り立つ。
ここで、が単調増加であることから、であるとき、であるどんなに対しても、より、であるため、このときがわかる。
よって、「任意の正の実数に対して、ある自然数が存在して、ならば」が成立するため、収束の定義からがに収束するということも明らかである。(証明終わり)