無理数の判定法 - 数学についていろいろ解説するブログ

概要

実数 ${\alpha}$ が無理数であることの必要十分条件は

任意の ${\epsilon \gt 0}$ に対して

$$0\lt \left|\alpha-\frac{q}{p}\right|\lt \frac{\varepsilon}{p}$$

を満たす有理数 ${\frac{q}{p}}$ が存在することである

これについて詳しく解説していこうと思います。

必要性の証明

${\alpha}$ が有理数であるときに条件を満たさないことを示せばOK（つまり対偶を示す）

${\alpha=\frac{b}{a}}$ という分数表記で書けるとする。ここで ${a,b}$ は整数で特に ${a}$ は0でない。ここで例の不等式が満たされていると仮定すると

$$0\lt \left|\frac{b}{a}-\frac{q}{p}\right|\lt \frac{\varepsilon}{p}$$

すべての辺を ${p}$ 倍すると

$$0\lt\left|\frac{bp-aq}{a}\right|\lt\varepsilon$$

ここで、中辺は ${a}$ 倍すると整数になることが分かる。 ${\varepsilon=\frac{1}{2a}}$ とすれば

$$0\lt |bp-aq|\lt \frac{1}{2}$$

となるが、 ${|bp-aq|}$ は0より大きく1/2より小さい整数となるため矛盾する。

この矛盾は「例の不等式が満たされていると仮定」したことによって起こるため、つまり条件は満たされないということが分かる。

十分性の証明

${\alpha}$ が無理数と仮定する。このとき、 ${0\lt\{n\alpha\}\lt\varepsilon}$ を満たす正の整数 ${n}$ が存在する。（ここで、 ${\{x\}}$ は ${x}$ の小数部分である。）以下証明（注：これはクロネッカーの稠密定理の特殊な場合である。）

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${\varepsilon\gt\frac{1}{N}}$ となるような自然数 ${N}$ を取ってくる。

このとき、 ${\{\alpha\},\{2\alpha\},\ldots,\{(N+1)\alpha\}}$ について考えるとこれらはどれも ${\left[\frac{k}{N},\frac{k+1}{N}\right)(k=0,\ldots,N-1)}$ の ${N}$ 個の区間のどれかに入っている。 ${(N+1)}$ 個のものを ${N}$ 個のものに対応させるということなので、鳩ノ巣論法によって、1つの区間に2つ以上入っていることになる。

つまり ${1\leq i\lt j\leq N+1}$ なる ${(i,j}$ があって

$$\frac{k}{N}\lt\{i\alpha\},\{j\alpha\}\lt \frac{k+1}{N}$$

となる。（注： ${\{i\alpha\},\{j\alpha\}}$ は無理数なので ${\frac{k}{N}}$ と等しくなるようなことはない）

ここで、 ${\{i\alpha\}\lt\{j\alpha\}}$ ならば、

$$0\lt \{(j-i)\alpha\}\lt \frac{1}{N}\lt \varepsilon$$より ${n=j-i}$ とすれば条件を満たす

逆に ${\{j\alpha\}\lt\{i\alpha\}}$ ならば、

$$1-\frac{1}{N}\lt \{(j-i)\alpha\}\lt 1$$

となるが、 ${\{k(j-i)\alpha\}}$ は ${k}$ を増やしていっても ${\frac{1}{N}}$ 未満のペースで減っていくため、 ${k}$ を増やしていけばいつかは

$$0\lt \{k(j-i)\alpha\}\lt \frac{1}{N}\lt\varepsilon$$より ${n=k(j-i)}$ とすれば条件を満たす。

${\{j\alpha\}=\{i\alpha\}}$ の場合はありえない。 ${(j-i)\alpha}$ が整数ならば ${\alpha}$ は有理数となるからである。

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以上の議論から ${0\lt\{n\alpha\}\lt\varepsilon}$ を満たす正の整数 ${n}$ が存在する。

よって ${0\lt n\alpha-m\lt\varepsilon}$ となるように整数 ${m}$ を定めることができる。よって

$$0\lt |n\alpha-m|\lt \varepsilon$$

${n}$ は0ではないので割ることができる。よって

$$0\lt \left|\alpha-\frac{m}{n}\right|\lt \frac{\varepsilon}{n}$$

よって ${p=n,q=m}$ とすればOK。

使用例1（ネイピア数eの場合）

以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{1}{(n+1)!}\lt e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\lt \frac{1}{n\cdot n!}$$

本筋からあまり逸れないように証明はかいつまんで行う。

$$e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots$$

となるが、左辺の不等式は ${\frac{1}{k!}\gt 0}$ より明らか。右辺の不等式については

$$\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots\lt \frac{1}{(n+1)\cdot n!}+\frac{1}{(n+1)^2\cdot n!}+\cdots=\frac{1}{n!}\cdot \frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n\cdot n!}$$

となる。

ここで、 ${a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}}$ とすると、 ${\frac{n!}{k!}}$ は整数であるため ${a_n}$ は整数となる。このとき、上記の不等式の両辺を ${n!}$ 倍すると