ε-δ論法とε-N論法 - 数学についていろいろ解説するブログ

概要

ε-δ論法,ε-N論法は極限の概念を厳密に定義したものである。

解析学をやる上での基本中の基本である

定義

極限については数列の極限と関数の極限の2種類がある

・数列の極限に対してはε-N論法

・関数の極限に対してはε-δ論法

で極限が定義される。

数列の極限（ε-N論法）

${\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha}$ とは

$$\forall \varepsilon \gt 0,\exists N\in \mathbb{N},n\geq N\Rightarrow |a_n-\alpha|\lt\varepsilon$$

というように言い換えることができる。

関数の極限（ε-δ論法）

${\lim_{x\to a}f(x)=b}$ とは以下のように言い換えることができる。

$$\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta\gt 0,|x-a|\lt \delta\Rightarrow |f(x)-b|\lt\varepsilon$$

特に関数 ${f(x)}$ が ${x=a}$ で連続であることは ${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$ であることと同値なのでこれは

$$\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta\gt 0,|x-a|\lt \delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|\lt\varepsilon$$

と表記される。これはよく使う気がする。

難しい？

これらはよく大学数学最初の難関とされているらしい。確かに高校数学までしか経験してない場合は初見バイバイな見た目をしている。そしてこれは大学1年の最初にやるような内容なので「大学生活あるあるネタ」みたいな感じでよく話題になる。

しかしε-δ論法やε-N論法そのものが難しいと言うよりは、論理式に慣れてないから難しく感じると思っている。

${\forall x}$ には「全ての ${x}$ について～」、 ${\exists y}$ には「ある ${y}$ があって～」という意味がある。

そしてそれらには順番がある。 ${\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta\gt 0}$ と書いたが、 ${\exists \delta\gt 0,\forall \varepsilon \gt 0}$ ではダメなのである。

ポイントは従属関係である。δはεに依存している。δの値はεに対応して決まっているということである。よって ${\delta=\delta(\varepsilon)}$ や ${N=N(\varepsilon)}$ のように関数のような表記をする派閥もある。最初のうちはこのように書けば分かりやすいかもしれない。

…とにかく、論理式に慣れることはε-δ論法やε-N論法以前のような解析学だけの問題ではなく、代数学や幾何学でもこのような表記は出てくる。大学数学を学習する上では絶対必要なものだろう。

結局の所対処法はひとつだけである。慣れろ　以上　おしまい

ということで以降はこれらの論法に慣れるために例題を載せようと思う。

例題

ここ以降は定義の言い換えによって丁寧に説明したつもりである。もしこれが小泉進〇郎構文に見えるのなら、その場合はある程度の理解ができていると言える。

有界で単調増加な数列は収束する

「有界な集合には上限が存在する」ということを証明に使う。

shakayami-math.hatenablog.com

チェザロ平均

${\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha}$ としたとき、 ${\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k=\alpha}$ を示せ

証明

${\varepsilon\gt 0}$ を任意に取ってくる。

このとき、 ${\varepsilon/2}$ に対応してある自然数 ${N}$ が存在する。

その自然数 ${N}$ は「 ${N}$ 以上の自然数 ${n}$ について ${|a_n-\alpha|\lt \varepsilon/2}$ 」という性質を持っている。

このとき、 ${n\geq N}$ として、

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k-\alpha=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(a_k-\alpha)$$

$$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-\alpha)+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}(a_k-\alpha)$$

より、三角不等式を適用させると

$$\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k-\alpha\right|\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-\alpha|+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}|a_k-\alpha|$$

ここで、 ${A=\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-\alpha|}$ してε-N論法の仮定を適用させると

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}|a_k-\alpha|+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}|a_k-\alpha|\leq \frac{1}{n}A+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}\varepsilon/2$$

$$\frac{1}{n}A+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}\varepsilon/2\leq \frac{A}{n}+\varepsilon/2$$

ここで、 ${N_1}$ を ${\frac{A}{N_1}\lt \varepsilon/2}$ となるように取る。

このとき、 ${n\geq N_1}$ ならば

${\frac{A}{n}\lt\varepsilon/2}$ となるため、 ${n\geq N_1}$ のときに

$$\leq \frac{A}{n}+\varepsilon/2\lt\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$$

となる。

よって ${\varepsilon}$ に対して自然数 ${N_1}$ を定めることができて、

この ${N_1}$ に対して ${n\geq N_1}$ のときに

$$\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k-\alpha\right|\lt \varepsilon$$

となる。よって

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k=\alpha$$

となることが示された。

はさみうちの原理

数列 ${a_n,b_n,c_n}$ が不等式 ${a_n\leq b_n\leq c_n}$ を満たしていて、

${\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=k}$ を満たしているとき

$$\lim_{n\to\infty}b_n=k$$

となる。

shakayami-math.hatenablog.com

証明は実は過去記事にあった…　（散らかっているので整備しなくては…）

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

数列 ${x_n}$ が有界、つまり常に ${a\leq x_n\leq b}$ となる場合、収束する部分列を持つ（＝ ${n_k}$ という自然数の数列が存在して、 ${\lim_{k\to\infty}x_{n_k}}$ がある値に収束する）

この証明には区間縮小法を使っている。区間縮小法がうまく使えることの説明としては

・区間の上限と下限の列を使うことではさみうちの原理が適用できる

・収束することについては「有界で単調増加な数列は収束する」を使う

・収束値が等しいことについては極限の線形性を使う

という感じである。

shakayami-math.hatenablog.com

連続関数と数列の極限

${I=[a,b]}$ として、 ${f:I\to\mathbb{R}}$ という連続関数があるとする。

このとき、 ${x_n\subset I}$ という数列は ${\lim_{n\to\infty}x_n=c}$ を満たしているとする（このとき ${a\leq c\leq b}$ であるものとする*1）

このとき、

$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(c)$$

となる。

証明

${\varepsilon\gt 0}$ を任意に取ってくると、それに対応してある ${\delta\gt 0}$ が取れる。この ${\delta}$ については

$$|x-c|\lt \delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|\lt \varepsilon$$となる。

また、この ${\delta\gt 0}$ に対応してある ${N\in\mathbb{N}}$ を取ることができる。この ${N}$ については

$$n\geq N\Rightarrow |x_n-c|\lt\delta$$

となる。

よって ${\varepsilon}$ に対応して（ ${\delta}$ を経由して） ${N}$ という自然数を定めることができた。この ${N}$ については ${n\geq N}$ のときに

$$|x_n-c|\lt \delta$$となるため、

$$|f(x_n)-f(c)|\lt\varepsilon$$

となる。

よって ${\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(c)}$ となることが示された。

合成関数の連続性

${I=[a,b],J=[c,d]}$ とする。このとき ${f:I\to J,g:J\to\mathbb{R}}$ としたとき、

${h:I\to\mathbb{R}}$ を合成関数として定める。つまり ${h(x)=g(f(x))}$ となる。

このとき、 ${f,g}$ が連続ならば ${h}$ も連続である。

証明

${\varepsilon\gt 0}$ を任意に取ってくる。

このとき、 ${\varepsilon}$ に対応してある ${\delta_0\gt 0}$ を取ってくることができて

$$|p-q|\lt\delta_0\Rightarrow |g(p)-g(q)|\lt \varepsilon$$

となる。

また、 ${\delta_0}$ に対応してある ${\delta\gt 0}$ を取ってくることができる。この ${\delta}$ については

$$|x-y|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt \delta_0$$

となる。

結局の所 ${\varepsilon}$ に対応して ${\delta}$ を取ってくることができて

${|x-y|\lt \delta}$ ならば ${|f(x)-f(y)|\lt\delta_0}$ となって ${|g(f(x))-g(f(y))|\lt\varepsilon}$ となるため、

つまり ${g(f(x))}$ が連続であることが示された。

中間値の定理

この記事での証明は区間縮小法を使っている。これらに加えて

連続関数と数列の極限についての関係を使っている。

shakayami-math.hatenablog.com

最大値最小値の定理

有界閉区間上で定義された連続関数は最大値と最小値を持つというものである。

shakayami-math.hatenablog.com

まとめ

ε-N論法やε-δ論法は大学数学の最初の難関として知られているが、対処法としては慣れることが重要である。そして慣れるためにはいくつかの例題が解けるようになるのが重要だろう。

*1:実際は仮定するまでもなくこうなる