超数理能力問題～ロピタルの定理を用いて、この極限値を求めて下さい～

注意

問題

超数理能力問題

ロピタルの定理を用いて、この極限値を求めて下さい

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-4x^2+\sqrt[\frac{\pi}{x}]{16\pi^4}+3e\cos{2x}\sin{2x}-3!\pi x-5\pi\sin{x}}{-2e^{\pi}\cos{(2x+\pi)}+2x^2-3\cdot 5^{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}-\pi x+3\sin{5x}+2e^{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}}$$

（一般大学生正解率1%未満）

出典：日本No.1の頭脳王関西大会　7ジャンルの頭脳戦　超数理能力

方針

せっかくなのでこの場で一応言っておく。「ロピタルは入試では使えない」は迷信である。正確には「ロピタルの定理を使うためにはロピタルの定理が適用できる条件をすべて満たしているかを確認する必要がある」といったところだろう。正しく使えさえすれば、使っても問題ない。

しかし、その適用条件がややこしいし面倒くさいため、「使いたくない」というのが正直なところだ。

ということで、ここではロピタルの定理を使わない方法で解いてみることにした。

解答

まず ${x\to\pi/2}$ という極限が扱いづらいので変換する。 ${x=y+\pi/2}$ とおけば ${y\to 0}$ となる。

分子については

$$4x^2=4\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=(2y+\pi)^2=4y^2+4y\pi+\pi^2$$

$$\sqrt[\frac{\pi}{x}]{16\pi^4}=(16\pi^4)^{\frac{x}{\pi}}=(16\pi^4)^{\frac{y}{\pi}+\frac{1}{2}}=4\pi^2(16\pi^4)^{\frac{y}{\pi}}$$

$$3e\cos{2x}\sin{2x}=3e\cos{(2y+\pi)}\sin{(2y+\pi)}=3e\cos{2y}\sin{2y}=\frac{3e}{2}\sin{4y}$$

$$3!\pi x=6\pi\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=6\pi y+3\pi^2$$

$$5\pi\sin{2x}=5\pi\sin{2y+\pi}=-5\pi\sin{2y}$$

分母については

$$-2e^{\pi}\cos{(2x+\pi)}=-2e^{\pi}\cos{(2y+2\pi)}=-2e^{\pi}\cos{2y}$$

$$2x^2=\frac{1}{2}(2y+\pi)^2=2y^2+2y\pi+\frac{1}{2}\pi^2$$

$$3\cdot 5^{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}=3\cdot 5^{y}$$

$$-\pi x=-\pi\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=-\pi y-\frac{\pi^2}{2}$$

$$3\sin{5x}=3\sin{\left(5y+\frac{5\pi}{2}\right)}=3\sin{\left(5y+\frac{\pi}{2}\right)}=3\cos{5y}$$

$$2e^{x+\frac{\pi}{2}}=2e^{\pi}e^{y}$$

よって求める極限は

$$\lim_{y\to 0}\frac{-4y^2-4y\pi-\pi^2+4\pi^2(16\pi^4)^{y/\pi}+\frac{3e}{2}\sin{4y}-6\pi y-3\pi^2+5\pi \sin{2y}}{-2e^{\pi}\cos{2y}+2y^2+2y\pi+\frac{1}{2}\pi^2-3\cdot 5^y-\pi y-\frac{\pi^2}{2}+3\cos{5y}+2e^{\pi}e^y}$$

となる。

見やすいように少し変形すると（ここで、$a^x=e^{\log{(a)}x}$を使用している）

$$\lim_{y\to 0}\frac{4\pi^2\left(e^{\frac{4}{\pi}\log{(2\pi)}y}-1\right)-10\pi y+\frac{3e}{2}\sin{4y}+5\pi\sin{2y}-4y^2}{2e^{\pi}(e^y-1)+2e^{\pi}(1-\cos{2y})+\pi y-3(e^{\log{(5)}y}-1)-3(1-\cos{5y})+2y^2}$$

この形なら、$y\to 0$で0/0の不定形になっていることが比較的見えやすくなる。

また変形をしてみる

$$\lim_{y\to 0}\frac{4\pi^2\frac{e^{\frac{4}{\pi}\log{(2\pi)}y}-1}{y}-10\pi+\frac{3e}{2}\frac{\sin{4y}}{y}+5\pi\frac{\sin{2y}}{y}-4y}{2e^{\pi}\frac{e^y-1}{y}+2e^{\pi}\frac{1-\cos{2y}}{y}+\pi-3\frac{e^{\log{(5)}y}-1}{y}-3\frac{1-\cos{5y}}{y}+2y}$$

ここで、以下の極限の式を使う。基本公式なので証明は演習とする(便利な言葉だ)

ここで ${a}$ は実数の定数とする。