ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

微分積分学

概要

有界な数列は収束する部分列を持つ、ということを主張している定理である。この定理を証明するにあたって、

 

shakayami-math.hatenablog.com

 で紹介した定理を使っているのでその記事を参照するといいだろう。

 

また、部分列とは{\{n_k\}_{k\in\mathbb{N}}}であって、{1\leq n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k\lt\cdots}を満たす自然数列に対して、{a_{n_k}}というように定めたものである。数列は自然数から実数への関数とみなすことができるが、これに自然数から自然数への関数を適用させたものとの合成写像とみなすこともできる。

証明

{x_n}は有界であるため、常に{x_n\in[a,b]=I}となるような区間が存在する。ここで、有界閉区間の列{I_n=[a_n,b_n]}を次のように定める。

  • {I_0=I}
  • {I_{n+1}}は、{c_n=(a_n+b_n)/2}としたときに、{[a_n,c_n]}と{[c_n,b_n]}のうち、{x_m}の項が無限個入っている方を採用する。両方の区間に{x_m}が無限個入っている場合はどちらを採用しても構わない。また、{I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]}となるように{a_{n+1},b_{n+1}}も定める。

このとき、{n_k}を、{n_{k-1}\lt n_k}かつ{x_{m}\in I_{k+1}}となる最小の自然数{m}と定義すると、この部分列は収束する。何故ならば、このとき任意の自然数に対して

$$a_k\lt x_{n_k}\lt b_k$$

という不等式が成立するのだが、{a_k(b_k)}は有界で単調増加（減少）な数列であるため収束することがわかり、さらに、{b_k-a_k=(b-a)2^{-k}}より、{b_k\to c,a_k\to c}というように同じ値に収束する。よって{x_{n_k}}についても、はさみうちの原理を適用させることで、同じく{c}に収束することがわかる。よってこのような方法によって収束する部分列を取ることができた。（証明終わり）