最大値最小値の定理
概要
を有界閉区間としたとき、上で定義された連続関数は最大値と最小値をもつ。つまりあるがあって、全てのについて、となる。
証明
最大値の方だけ証明すれば十分である。なぜならについて同じように最大値の存在を証明すればそれはの最小値になるからである。
さて、有界閉区間上で定義されているため、関数自体は有界である。つまりあるが存在して、となる。つまり実数の部分集合の$$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$$が有界であるため上限が存在する。(実数の部分集合で有界ならば上限が存在することは、実数の連続性から導くことができる)
一応上限の定理をさらっておこう。について、がの上限であるとは、以下の2つを満たすことである。
- について、が成立する
- について、あるが存在して、が成立する。
また、がの上限であるとき、と書くこともある。
ここで、とは限らないことに注意である、どちらの場合もありえるのである。
よって、がの上限であることは以下のように言い換えられる。
(であることは、と同値であることに注意!)
- について、
- について、あるが存在して、が成立する。
もし、であってとなるものが存在した場合、証明として十分であることが分かる(が実際に最大値を取る上の値となるため)
実はこのようなは存在するので、これを証明しよう。
数列を、を満たすようにとる。どんなについても、このようにとることができるが存在する。上限の定義の2つめに対して、を適用すればいいからである。そうすれば条件よりうまい具合にが見つかるということになる。*1
ここである程度の察しが付くと「の極限をとすればいいのでは」思いそうになるが、残念ながらもう1ステップ必要である。はを満たしているという性質しか分かっていないため、収束するかどうかは分からない。つまり振動する可能性が残っているということである。ここで、ボルツァーノワイエルシュトラスの定理の使う。
この定理を使うことで、という部分列が存在して、がで収束するようにとることができる。この収束値をとすると、であってとなるのである。
これを示そう。まずは閉区間であるため閉集合。よっての極限はをはみ出すことはない。よってである。また、の上限の定理と不等式をいろいろすることで、
$$M-\frac{1}{k}\leq M-\frac{1}{n_k}\lt f(x_{n_k})\leq M $$
という不等式が成立する。*2これについてではさみうちの原理を適用すればよい。
ここで、真ん中の極限についてはが連続関数であることから、
$$ \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(\lim_{k\to \infty}x_{n_k})=f(c)$$
となる。よって、
$$f(c)=M $$
となることがわかった。